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直角三角形で辺の長さを素数にできるのは2辺までで、3辺全ての長さが素数であるような直角三角形は作れない(存在しない)ことを示そうと思います。
証明
方針としては 3辺の長さを $p, q, r$ とおき、成り立つ等式 $p^2 + q^2 = r^2$ について両辺を2や3で割った余りを考える方向です。
長さが素数であるという条件が強力なのでそれを利用して、両辺の余りが一致しないことを示します。
$p, q, r$ の奇偶を考え $p, q$ のうち片方が $2$ であると示す
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両辺を $3$ で割った余りが一致しない(矛盾)ことを示す
という流れです。
(証明)
3辺の長さが全て素数であるような直角三角形が存在すると仮定する。
直角三角形の3辺の長さを $p, q, r$ (いずれも素数)とおき $r$ を斜辺の長さとすると次が成り立つ。
\begin{equation}
p^2 + q^2 = r^2
\end{equation}
まず $p, q, r$ の奇偶を考える。 $r$ が偶数 $(=2)$ のとき、式(1)を満たす $(p,q)$ の組は存在しないので $r$ は奇数。
よって左辺の $p, q$ のうちどちらか一方のみが奇数。
奇数である方を $p$、偶数である方を $q (=2)$ とすると式(1)は
\begin{equation}
p^2 + 4 = r^2
\end{equation}
となる。
次に式(2)について3を法として考える。
$p$ が $3$ の倍数 $(=3)$ のとき、式(2)を満たす $r$ は存在しないので $p$ は $3$ の倍数でない。また $r$ が$3$ の倍数 $(=3)$ のとき、式(2)を満たす $p$ は存在しないので $r$ は $3$ の倍数でない。したがって
$$p^2 \equiv_3 1, r^2 \equiv_3 1$$
となるが, 式(2)では
(左辺) \equiv_3 2 \\
(右辺) \equiv_3 1
\end{align*}
となり矛盾。以上より3 辺の長さが全て素数であるような直角三角形は存在しない。 $\blacksquare$
