驚異の「半素数生成半素数」28222149!

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素数に関する驚くべき性質や興味深いトリビアを集めたWebサイト Prime Curios! で紹介されていた半素数が凄かったので、今回ここで紹介します。

(10進)半素数生成半素数 28222149

半素数とは、2つの素数の積で表される整数です。

例えば $21$ は $3$ と $7$ の積で表される $(21= 3 \times 7)$ ので半素数です。
(※ $4=2 \times 2$ のように同じ2つの素数の積で表される整数も含む。)

※半素数の一覧数列はこちら:OEIS A001358

それでは今回取り上げる半素数 $28222149$ を見てみましょう。

28222149 = 3 × 9407383 [半素数]

まず、28222149 を素因数分解して出てきた素因数 3 と 9407383 をくっつけてみます。

39407383 = 449 × 87767 [半素数] ㅤ
94073833 = 7 × 13439119 [半素数]

なんとどちらの順にくっつけても、新しくできた整数は半素数になりました!

続いて 28222149 と、素因数のうち一方の 3 をくっつけてみます。

282221493 = 3 × 94073831 [半素数] ㅤ
328222149 = 3 × 109407383 [半素数]

なんとこちらも両順共に半素数になりました!

更に 28222149 と、素因数のうちもう一方の 94073831 をくっつけてみます。

282221499407383 = 9407383 × 30000001 [半素数]

940738328222149 = 643 × 155521 × 9407383 [違う…]

あ、940738328222149 は半素数にならず 3つの素数の積になってしまいました…。←おい。

気を取り直して、 28222149 と 3 と 94073831 の全3つをくっつけてみます。

くっつけ方は $3!=6$ 通りです。

2822214939407383 = 13 × 217093456877491  [半素数]

2822214994073833 = 42495899 × 66411467   [半素数]

3282221499407383 = 13 × 252478576877491  [半素数]

3940738328222149 = 1598341 × 2465517889  [半素数]

9407383282221493 = 3375409 × 2787035077  [半素数]

9407383328222149 = 40351273 × 233137213  [半素数]

驚くべきことに6パターン全てで半素数になりました!!!

結果的に、3数のくっつけ方 $3 \times 2 + 3! = 12$ 通りのうち、11通りで半素数になりました!

結果をまとめると以下の通りになります。

(10進)半素数生成半素数 28222149 の半素数生成結果

半素数 28222149 を覚えているだけで、16桁の大きな半素数を6個も列挙できるようになります!(更にオマケで5個付き。)

素因数分解してくっつけるだけで半素数を生成できるので、$28222149$ は (10進)半素数生成半素数と呼びたいですね!

※くっつける操作が記数法(10進法)に依存しているので、”10進”と付けています。

“完璧”な半素数生成半素数は存在するか

$28222149$ は3数のくっつけ方 12 通りのうち、11通りで半素数になる半素数でした。

12通りの全てで半素数になる”完璧”な「半素数生成半素数」は存在するのでしょうか?

半素数 9 は条件を満たすが…

9 = 3 × 3 [半素数]

に対して、

33 = 3 × 11 [半素数]

39 = 3 × 13 [半素数]

93 = 3 × 31 [半素数]

339 = 3 × 113 [半素数]

393 = 3 × 131 [半素数]

933 = 3 × 311 [半素数]

は全てのくっつけ方で半素数を生成します。

しかし、同じ3どうしの積なので12パターンのうちの6パターンしか現れず、生成できる半素数の数は6つだけです。

12通り全てで異なる半素数になるように、”異なる”素数の積で表される半素数を考えたいところです。

$9$ 以外に同条件を満たす半素数は存在するか?

9以外の、平方数である半素数で9と同じように半素数を生成できるようなものは存在するのでしょうか? まだこちらは調べていません…。

現在の進捗

この問題について検討した人がいるみたいで、$10^{10}$ までの数で完璧な半素数生成半素数が存在しないか探索したところその範囲では存在しなかったと報告しています。

リンク:28222149, a semiprime with amazing properties

“完璧”な半素数生成半素数は存在するか?

また、存在するとしたら無限に存在するか?

コンピュータ計算で片っ端から探索する以外に何か良い方法があればよいのですが、思いつきません。

探索用のプログラムを組む場合も、なんとかアルゴリズムを工夫して高速に探索できるようにしたいです。

10進法以外ではどうか?

他のN進法で同じ様な半素数が存在するか確認してみたいですね。

Nによっては比較的小さな数で条件を満たすものがあるかもしれません。

面白い素数が盛りだくさん! Prime Curiosのすゝめ

今回紹介した半素数 $28222149$ が紹介されていたページはこちらです。

リンク:Prime Curios! 28222149

この「Prime Curios!」というWebサイトでは、各素数ごとに驚くべき性質や興味深いトリビアが数多く掲載されています。

英語ですが、性質は式で説明されている場合も多いので英語が読めない方もぜひご覧ください!

(もし分からない点がありましたら、コメント欄で質問して頂ければ答えられる範囲でお答えします!)

例えば 16ケタから19ケタの興味深い性質を持った素数の一覧表はこちらです。

緑色のチェックマークが入った数が素数で、それ以外は合成数です。

ページ上部の digits が桁数指定で、桁数ごとに一覧でまとめられています。

各素数(合成数)のリンクをクリックして、面白い性質を堪能して下さい😄

私のサイトでも、今後このサイトの面白い素数や整数をピックアップして(日本語で)紹介する予定です。

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