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素数に関する驚くべき性質や興味深いトリビアを集めたWebサイト Prime Curios! で紹介されていた半素数が凄かったので、今回ここで紹介します。
(10進)半素数生成半素数 28222149
半素数とは、2つの素数の積で表される整数です。
例えば $21$ は $3$ と $7$ の積で表される $(21= 3 \times 7)$ ので半素数です。
(※ $4=2 \times 2$ のように同じ2つの素数の積で表される整数も含む。)
※半素数の一覧数列はこちら：OEIS A001358
それでは今回取り上げる半素数 $28222149$ を見てみましょう。
まず、28222149 を素因数分解して出てきた素因数 3 と 9407383 をくっつけてみます。
94073833 = 7 × 13439119 [半素数]
なんとどちらの順にくっつけても、新しくできた整数は半素数になりました！
続いて 28222149 と、素因数のうち一方の 3 をくっつけてみます。
328222149 = 3 × 109407383 [半素数]
なんとこちらも両順共に半素数になりました！
更に 28222149 と、素因数のうちもう一方の 94073831 をくっつけてみます。
282221499407383 = 9407383 × 30000001 [半素数]
940738328222149 = 643 × 155521 × 9407383 [違う…]
あ、940738328222149 は半素数にならず 3つの素数の積になってしまいました…。←おい。
気を取り直して、 28222149 と 3 と 94073831 の全3つをくっつけてみます。
くっつけ方は $3!=6$ 通りです。
2822214939407383 = 13 × 217093456877491 [半素数]
2822214994073833 = 42495899 × 66411467 [半素数]
3282221499407383 = 13 × 252478576877491 [半素数]
3940738328222149 = 1598341 × 2465517889 [半素数]
9407383282221493 = 3375409 × 2787035077 [半素数]
9407383328222149 = 40351273 × 233137213 [半素数]
驚くべきことに6パターン全てで半素数になりました！！！
結果的に、3数のくっつけ方 $3 \times 2 + 3! = 12$ 通りのうち、11通りで半素数になりました！
結果をまとめると以下の通りになります。
半素数 28222149 を覚えているだけで、16桁の大きな半素数を6個も列挙できるようになります！(更にオマケで5個付き。)
素因数分解してくっつけるだけで半素数を生成できるので、$28222149$ は (10進)半素数生成半素数と呼びたいですね！
※くっつける操作が記数法(10進法)に依存しているので、"10進"と付けています。
"完璧"な半素数生成半素数は存在するか
$28222149$ は3数のくっつけ方 12 通りのうち、11通りで半素数になる半素数でした。
12通りの全てで半素数になる"完璧"な「半素数生成半素数」は存在するのでしょうか？
2022/9 更新：ついに完璧な半素数生成半素数が発見されました！！！
New! 半素数 10486098957
"完璧"な半素数生成半素数の条件を満たす
発見者：タココタさん 発見日時：2022年8月29日
に対して、2数を並べた6通りの
34953663193 = 67021 × 521533 [半素数] ㅤ
104860989573 = 3 × 34953663191 [半素数] ㅤ
310486098957 = 3 × 103495366319 [半素数] ㅤ
104860989573495366319 = 3495366319 × 30000000001 [半素数] ㅤ
349536631910486098957 = 3495366319 × 100000000003 [半素数]
と、3数を並べた6通りの
1048609895733495366319 = 56370763 × 18602017072813 [半素数]
1048609895734953663193 = 3707333303 × 282847483631 [半素数]
3104860989573495366319 = 7 × 443551569939070766617 [半素数]
3349536631910486098957 = 8969 × 373457089074644453 [半素数]
3495366319104860989573 = 631 × 5539407795728781283 [半素数]
3495366319310486098957 = 37 × 94469359981364489161 [半素数]
の計12通りで得られる数は全て半素数となる。
(条件を満たす半素数が実際に存在し、しかもそれが発見されたことに驚きを感じます…!!!)
大変驚くべき、そして楽しい発見を共有してくださった発見者のタココタさん、改めてありがとうございました！
半素数 9 は条件を満たすが…
に対して、
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39 = 3 × 13 [半素数]
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93 = 3 × 31 [半素数]
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339 = 3 × 113 [半素数]
ㅤ
393 = 3 × 131 [半素数]
ㅤ
933 = 3 × 311 [半素数]
は全てのくっつけ方で半素数を生成します。
しかし、同じ3どうしの積なので12パターンのうちの6パターンしか現れず、生成できる半素数の数は6つだけです。
12通り全てで異なる半素数になるように、"異なる"素数の積で表される半素数を考えたいところです。
9以外の、平方数である半素数で9と同じように半素数を生成できるようなものは存在するのでしょうか？ まだこちらは調べていません…。
(追記：コメント欄でこのようなパターンは厳しいことを教えていただきました)
以前の進捗
この問題について検討した人がいるみたいで、$10^{10}$ までの数で完璧な半素数生成半素数が存在しないか探索したところその範囲では存在しなかったと報告しています。
リンク：28222149, a semiprime with amazing properties
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また、存在するとしたら無限に存在するか？
見つかった完璧な半素数生成半素数が $10486098957 = 1.0486098957 \times 10^{10} > 10^{10}$ なので、ギリギリ $10^{10}$ までの探索では見つからなかったのですね。(惜しい!)
10進法以外ではどうか？
他のN進法で同じ様な半素数が存在するか確認してみたいですね。
Nによっては比較的小さな数で条件を満たすものがあるかもしれません。
面白い素数が盛りだくさん！ Prime Curiosのすゝめ
今回紹介した半素数 $28222149$ が紹介されていたページはこちらです。
この「Prime Curios!」というWebサイトでは、各素数ごとに驚くべき性質や興味深いトリビアが数多く掲載されています。
英語ですが、性質は式で説明されている場合も多いので英語が読めない方もぜひご覧ください！
(もし分からない点がありましたら、コメント欄で質問して頂ければ答えられる範囲でお答えします！)
例えば 16ケタから19ケタの興味深い性質を持った素数の一覧表はこちらです。
緑色のチェックマークが入った数が素数で、それ以外は合成数です。
ページ上部の digits が桁数指定で、桁数ごとに一覧でまとめられています。
各素数(合成数)のリンクをクリックして、面白い性質を堪能して下さい😄
私のサイトでも、今後このサイトの面白い素数や整数をピックアップして(日本語で)紹介する予定です。
